量子力学
ミクロの世界での力学に値する学問。
ミクロの世界ではニュートン力学が適用できなくなってしまう問題に由来する。
例)電子が陽子の周りを回り続けてられること
電子を波として考えるのが量子力学である。
二重スリットの実験
電子を次のような二重スリットに打ち込むと干渉縞が現れる。 これは電子が波の振る舞いをしているためである。 2枚めの上のスリットから出てくる電子の存在確率を\(\Psi_1\),下のスリットから出てくる電子の存在確率を\(\Psi_2\)とすると、スクリーンにて観測できる電子の存在確率は次のように表すことができる。 \[ |\Psi|^2=|\Psi_1+\Psi_2|^2 \]
シュレディンガー方程式
シュレディンガー方程式とは、原子レベルの自然法則を記述する基本方程式である。
電子は粒子と波動の二重星を持つことから導出される。
時間依存のシュレディンガー方程式を示す。
\[
i\hbar\frac{\partial\psi(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}=\biggl( -\frac{\hbar^{2}}{2m}\Delta + V(\boldsymbol{r})\biggr) \psi (\boldsymbol{r},t)
\]
シュレディンガー方程式の導出
シュレディンガー方程式の一般解
シュレディンガー方程式は斉次線形微分方程式であるため、一般解は特解の線形結合で表すことができる。 特解は \[ \Psi(\boldsymbol{r},t)=Ce^{(-i\frac{E}{\hbar}t)}\psi(\boldsymbol{r}) \] である。また、この特解を定常状態と呼ぶ。 エネルギーの固有値\(E\)が離散値を取る場合は、 \[ \Psi(\boldsymbol{r},t)=\sum_{n}C_n e^{(-i\frac{E_n}{\hbar}t)}\psi_n(\boldsymbol{r}) \] エネルギーの固有値\(E\)が連続値を取る場合は、 \[ \Psi(\boldsymbol{r},t)=\int C(E)e^{(-i\frac{E}{\hbar}t)}\psi_E(\boldsymbol{r})dE \] と表すことができる。